Question

18.某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格,銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低銷x(單位：元，)的平方成正比.已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件.

(Ⅰ)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù);

(Ⅱ)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

Answer 1

本小題主要考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運用函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的知識解決實際問題的能力.

解：(Ⅰ)設(shè)商品降價x元，則多賣的商品數(shù)為kx²，若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則依題意有f(x)=(30-x-9)(432+kx²)=(21-x)(432+kx²).

又由已知條件，24=k·2²,于是有k=6,

所以f(x)= -6x³+126x²-432x+9072,x∈［0,30］.

(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)，我們有f′(x)=-18x²+252x-432=-18(x-2)(x-12).

x	［0，2)	2	(2，12)	12	(12，30]
f′(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↘	極小	↗	極大	↘

故x=12時，f(x)達到極大值，因為f(0)=9072、f(12)=11264,所以定價為30-12=18元能使一個星期的商品銷售利潤最大.