Question

已知f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，當時，不等式f（ax+1）≤f（x-3）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．[-3，3]
B．[-7，1]
C．[-7，3]
D．[-3，1]

Answer 1

【答案】分析：由已知中f（x）是偶函數(shù)，，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，由偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，易得f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，又由若x∈[，1]時，不等式f（ax+1）≤f（x-3）恒成立，結(jié)合函數(shù)恒成立的條件，可以構(gòu)造一個關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：∵f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)
當x∈[，1]時
x-3∈[，-2]
故f（x-3）≥f（2）
若x∈[，1]時，不等式f（ax+1）≤f（x-3）恒成立，
則當x∈[，1]時，|ax+1|≤2恒成立
解得-3≤a≤1
故選D
點評：本題考查的知識點是奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中根據(jù)已知條件結(jié)合偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，證得f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，進而給出x∈[，1]時f（x-3）的最小值，是解答本題的關(guān)鍵，屬中檔題．