Question

已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC．
（Ⅰ）求證：AD⊥面SBC；
（Ⅱ）若BC=1，∠ABC=60°，SA=AB，求AB與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由SA⊥面ABC，得BC⊥SA，結合AC⊥BC，利用線面垂直判定定理，證出BC⊥面SAC，從而得到BC⊥AD，再結合SC⊥AD，可得AD⊥面SBC；
（II）連結BD，由AD⊥面SBC，得∠ABD就是AB與平面SBC所成角．再由題中數據算出Rt△ABD中AB=2且BD=

3

2

，利用三角函數的定義得到cos∠ABD=

BD

AB

=

3

4

，得sin∠ABD=

7

4

，即得AB與平面SBC所成角的正弦值．

解答：解：（I）∵SA⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥SA
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC、SA是面SAC內的相交直線，
∴BC⊥面SAC
又∵AD?面SAC，∴BC⊥AD，
又∵SC⊥AD，且BC、SC是面SBC內的相交直線，
∴AD⊥面SBC；
（II）連結BD
∵AD⊥面SBC，∴BD是AB在平面ADC內的射影，可得∠ABD就是AB與平面SBC所成角
∵Rt△ABC中，BC=1，∠ABC=60°，∴AB=

BC

cos60°

=2，
又∵Rt△ASB中，SA=AB，∴SB=

2

AB=2

2

因此，Rt△SBC中，SC=

SB2+BC2

=3，得中線BD=

1

2

SC=

3

2

Rt△ABD中，cos∠ABD=

BD

AB

=

3

4

，得sin∠ABD=

1-cos2∠ABD

=

7

4

即AB與平面SBC所成角的正弦值是

7

4

．

點評：本題在特殊三棱錐中證明線面垂直，并求線面所成角的正弦值．著重考查了空間線面垂直的判定與性質、直線與平面所成角的定義及求法等知識，屬于中檔題．