在數(shù)列
中，
，且
.
(Ⅰ) 求
，猜想
的表達式，并加以證明；
(Ⅱ)設(shè)
，求證：對任意的自然數(shù)
都有
.
(Ⅰ) 
，
(Ⅱ)
所以
所以只需要證明
（顯然成立），所以命題得證
【解析】
試題分析：(Ⅰ)容易求得：.
1分
故可以猜想.下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
顯然當(dāng)
時，結(jié)論成立. 2分
假設(shè)當(dāng)
；
時（也可以
），結(jié)論也成立，即
,
.
3分
那么當(dāng)
時，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：
4分
即當(dāng)時，結(jié)論也成立，綜上，對
,
成立.
6分
(Ⅱ)
， 8分
所以
.
10分
所以只需要證明
（顯然成立）
所以對任意的自然數(shù)
，都有
.
12分
考點：數(shù)學(xué)歸納法及數(shù)列求和
點評：數(shù)學(xué)歸納法用來證明與正整數(shù)有關(guān)的題目，證明步驟：1，證明當(dāng)
時命題成立。2，假設(shè)當(dāng)
時命題成立，借此證明當(dāng)
是命題成立，綜上1，2得證；數(shù)列求和常用的方法有分組求和裂項相消求和錯位相減求和等
科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆海南瓊海嘉積中學(xué)高一下學(xué)期教學(xué)監(jiān)測（二）理數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題
在數(shù)列
中，
，且滿足
.
（Ⅰ）求
及數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)
求數(shù)列
的前
項和
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年甘肅省高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題
（12分）在數(shù)列
中，
，且對任意
都有
成立，令
（1）求數(shù)列
的通項公式；（2）求數(shù)列
的前n項和
。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年山西大學(xué)附中高二上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)卷 題型：填空題
在數(shù)列
中，
，且當(dāng)
時有
，則數(shù)列的通項公式為
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年吉林省高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)卷 題型：填空題
在數(shù)列
中，
，且對于任意正整數(shù)n，都有
，則
＝ 。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年高考試題（天津卷）解析版（理） 題型：解答題
在數(shù)列
中，
，且對任意
.
，
，
成等差數(shù)列，其公差為
。
（Ⅰ）若=
，證明，，
成等比數(shù)列（）
（Ⅱ）若對任意，，，成等比數(shù)列，其公比為
。
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