Question

如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)是BE的中點，求證：
（1）FD∥平面ABC；
（2）AF⊥平面EDB；
（3）求直線AD與平面EDB所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AB的中點M，連FM，MC，只要證明FD∥MC即可；
（2）只要證明FD⊥AF，AF⊥EB，利用線面垂直的判定定理解答；
（3）由（2）可得AD在平面EBD的射影為DF，得到直線AD與平面EDB所成角為∠ADF．

解答： （1）證明：取AB的中點M，連FM，MC，
∵F、M分別是BE、BA的中點，
∴FM∥EA，F(xiàn)M=

1

2

EA，
∵EA、CD都垂直于平面ABC，
∴CD∥EA，
∴CD∥FM，
又DC=a，∴FM=DC，
∴四邊形FMCD是平行四邊形，
∴FD∥MC，又FD?平面ABC，MC?平面ABC，
∴FD∥平面ABC；
（2）證明：∵M是AB的中點，△ABC是正三角形，
∴CM⊥AB，
又CM⊥AE，∴CM⊥面EAB，∴CM⊥AF，F(xiàn)D⊥AF，
因F是BE的中點，EA=AB，∴AF⊥EB，
FD∩BE=F，
∴AF⊥平面EDB．
（3）由（2）可得AD在平面EBD的射影為DF，所以直線AD與平面EDB所成角為∠ADF，AF=

2

a，AD=

5

a，DF=

3

a，cos∠ADF=

DF

AD

=

15

5

；
所以直線AD與平面EDB所成角的余弦值為

15

5

．

點評：本題考查了線面平行和線面垂直的判斷以及線面角的求法，關(guān)鍵是將線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系解答．