Question

6．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），若2f（x）-f'（x）＜2，f（0）=2018，則不等式f（x）＞2017e^2x+1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^-2xf（x）-e^-2x，則g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，不等式f（x）＞2017e^2x+1兩邊同乘e^-2x得出g（x）＞2017，從而得出x的范圍．

解答 解：設(shè)g（x）=e^-2xf（x）-e^-2x，
則g′（x）=-2e^-2xf（x）+e^-2xf′（x）+2e^-2x=-e^-2x[2f（x）-f′（x）-2]，
∵2f（x）-f'（x）＜2，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上單調(diào)遞增．
∵f（x）＞2017e^2x+1，∴e^-2xf（x）＞2017+e^-2x，即g（x）＞2017，
∵g（0）=f（0）-1=2017，
∴x＞0．
故答案為（0，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造g（x）是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．