Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；

（2）令，已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②若存在，使不等式對(duì)任意（取值范圍內(nèi)的值）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，，由點(diǎn)斜式寫出切線方程并整理成一般式.

（2）①求出，由，可得有兩個(gè)滿足題意的不等實(shí)根，由二次方程根的分布可得的取值范圍；②由①求出兩極值點(diǎn)，確定的單調(diào)性，得在單調(diào)遞增，因此題設(shè)中使不等式成立，取的最大值，使之成立即可，化簡(jiǎn)為不等式，對(duì)任意的恒成立，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性得不等式成立的條件.

（1）當(dāng)時(shí)，，，

時(shí)，，，

在處的切線方程為，

化簡(jiǎn)整理可得.

（2）①對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，，

令可得，，

解得實(shí)數(shù)的取值范圍為.

②由，解得，

而在上遞增，在上遞減，在上遞增，

，，

在單調(diào)遞增，

在上，，

，使不等式，

對(duì)恒成立，等價(jià)于不等式

恒成立，

即不等式對(duì)任意的恒成立.

令，

則，

當(dāng)時(shí)，，在上遞減，即，不合題意.

當(dāng)時(shí)，

，

若，即時(shí)，則在上遞減，

，

時(shí)，不能恒成立；

若，即時(shí)，

則在上遞增，

恒成立，

實(shí)數(shù)的取值范圍