Question

已知函數(shù)g(x)=

4x-n

2x

是奇函數(shù)，f（x）=lg（10^x+1）+mx是偶函數(shù)．
（1）求m+n的值；
（2）設(shè)h(x)=f(x)+

1

2

x，若g（x）＞h[lg（2a+1）]對(duì)任意x≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，且在x=0處有意義，得g（0）=0，解得m，f（x）是偶函數(shù)利用f（-x）=f（x）解得n，從而得m+n的值．
（2）g（x）＞h[lg（2a+1）]對(duì)任意x≥1恒成立即lg（2a+2）小于2^x-2^-x的最小值，利用單調(diào)性的定義探討該函數(shù)的單調(diào)性即可的其最小值，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，解不等式組即可的a的范圍．

解答：解：（1）∵g（x）為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽∴g（0）=

1-n

1

=0，解得n=1
∵f（x）=lg（10^x+1）+mx是偶函數(shù)．
∴f（-x）=lg（10^-x+1）-mx=lg

10x+1

10x

-mx=lg（10^x+1）-x-mx=lg（10^x+1）-（m+1）x
=f（x）=lg（10^x+1）+mx∴m=-（m+1），∴m=-

1

2

∴m+n=

1

2

（2）∵h(x)=f(x)+

1

2

x=lg（10^x+1） 
∴h[lg（2a+1）]=lg[10^lg（2a+1）+1]=lg（2a+2）
∵g(x)=

4x-1

2x

=2^x-2^-x
∴g（x）＞h[lg（2a+1）]對(duì)任意x≥1恒成立即lg（2a+2）＜2^x-2^-x對(duì)任意x≥1恒成立
取x₁＞x₂≥1，則g（x₁）-g（x₂）=（2 x1 -2x2）

2x1•2x2-1

2x1•2x1

＞0
即當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）是增函數(shù)，∴g（x）_min=f（1）=

3

2

由題意得2a+2＜10

3

2

，2a+1＞0，2a+2＞0，
解得-

1

2

＜a＜5

10

-1
即a的取值范圍是{a|-

1

2

＜a＜5

10

-1}

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，單調(diào)性的判斷和證明，在探討不等式恒成立時(shí)注意條件的轉(zhuǎn)化，考慮定義域．是中檔題．