Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M為BC的中點(diǎn)，
(1)證明：AM⊥PM；
(2)求二面角P-AM-D的大��；
(3)求點(diǎn)D到平面AMP的距離．

Answer 1

解：(1)取CD的中點(diǎn)E，連接PE、EM、EA，
∵△PCD為正三角形，
∴PE⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形，
由勾股定理可求得，AE=3，
∴EM²+AM²=AE²，
∴∠AME=90°，∴AM⊥EM，
∴AM⊥平面PME，
∴PM⊥AM。
(2)由(1)易得∠PME是二面角P-AM-D的平面角，，
∴，
∴∠PME=45°，
∴二面角P-AM-D為45°。
(3)設(shè)點(diǎn)D到平面PAM的距離為d，連接DM，
則V_P-ADM=V_D-PAM，
∴，而，
在Rt△PEM中，由勾股定理可求得，
∴，
∴，
即點(diǎn)D到平面PAM的距離為。