Question

7．設(shè)x，y∈R，2x²+3y²=6，求x²+y²+8x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由題意三角換元可得x=$\sqrt{3}$cosθ，y=$\sqrt{2}$sinθ，由三角函數(shù)和二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：∵2x²+3y²=6，∴$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴x=$\sqrt{3}$cosθ，y=$\sqrt{2}$sinθ，
∴x²+y²+8x=3cos²θ+2sin²θ+8$\sqrt{2}$sinθ
=3（1-sin²θ）+2sin²θ+8$\sqrt{2}$sinθ
=-sin²θ+8$\sqrt{2}$sinθ+3
=-（sinθ-4$\sqrt{2}$）²+35，
由二次函數(shù)可知當(dāng)sinθ∈[-1，1]時(shí)，上式單調(diào)遞增，
∴當(dāng)sinθ=1時(shí)，上式取最大值8$\sqrt{2}$+2；
當(dāng)sinθ=-1時(shí)，上式取最小值-8$\sqrt{2}$+2

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，三角換元并利用三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．