Question

20．已知f（x）=x+$\frac{9}{x}$+3，g（x）=-x²+6x，若存在正數(shù)m，n使得f（m）=g（n），則m+$\frac{1}{n}$=$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=x+$\frac{9}{x}$+3在x＞0時的最小值，g（x）=-x²+6x，在x＞0時的最大值，求出m，n即可得到m+$\frac{1}{n}$．

解答 解：在x＞0時，f（x）=x+$\frac{9}{x}$+3≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}+3$=9，最小值為9，此時x=3．
g（x）=-x²+6x=-（x-3）²+9≤9，函數(shù)的最大值為9，此時x=3，
存在正數(shù)m，n使得f（m）=g（n），
可得m=n=3，m+$\frac{1}{n}$=$\frac{10}{3}$．
故答案為：$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應用，函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．