Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）
（1）求曲線y=f（x）上一點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）證明：e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln(n+1)+n(n∈N*，e為常數(shù))．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1），知f′（x）=e^x-

1

x+1

，由此能求出曲線y=f（x）上一點（0，f（0））處的切線方程．
（2）先求導數(shù)f′（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，f′（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（3）由（2）知當x=0時，f（x）取得最小值，即f（x）≥1，即e^x-ln（x+1）≥1，即e^x≥ln（x+1）+1，取x=

1

n

，則e

1

n

≥ln（

1

n

+1）+1=ln（n+1）-lnn+1，再分別令n=1，2，3，…，n得到n個不等式，相加即得．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1），
∴f′（x）=e^x-

1

x+1

，
∴k=f′（0）=e⁰-

1

0+1

=0，
f（0）=e⁰-ln1=1，
∴曲線y=f（x）上一點（0，f（0））處的切線方程為：y-1=0．
（2）∵f′（x）=e^x-

1

x+1

，x＞-1．
∴由f′（x）=e^x-

1

x+1

=0，得x=0．
當x＞0時，e＞1，

1

x+1

＜1，所以當x＞0時，f′（x）＞0；
當-1＜x＜0時，ex＜1，

1

x+1

＞1，所以當x＜0時，f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間是（-1，0），增區(qū)間是（0，+∞）．
（3）∵函數(shù)f（x）的減區(qū)間是（-1，0），增區(qū)間是（0，+∞），
∴當x=0時，f（x）取得最小值f（0）=1，∴f（x）≥1，
∴e^x-ln（x+1）≥1，即e^x≥ln（x+1）+1，
取x=

1

n

，則e

1

n

 ≥ln（

1

n

+1）+1=ln（n+1）-lnn+1，
于是e≥ln2-ln1+1，
e

1

2

≥ln3-ln2+1，
e

1

3

≥ln4-ln3+1，
…
e

1

n

≥ln（n+1）-lnn+1．
相加得，e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln（n+1）+n．（n∈N*，e為常數(shù)）．
故e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln(n+1)+n(n∈N*，e為常數(shù))．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質(zhì)的應用．解題時要認真審題，仔細解答．