Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成的角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，從而得證；

（Ⅱ）在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法得到二面角的余弦，即可得到的關(guān)系，從而得解；

解：（Ⅰ）證明：在中，，解得，

則，從而

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以，

因?yàn)?/span>，，平面，平面，所以平面；

（Ⅱ） 解：在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，則

設(shè)平面的法向量為，則

，即，

令，則

又平面的一個(gè)法向量，則

從而，故

則直線與平面所成的角為，大小為.