Question

證明關于x的方程ax²+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.

Answer 1

證明：(1)先證充分性：設a+b+c=0,則c=－(a+b).

∴ax²+bx－(a+b)=0.

∴(x－1)［a(x+1)+b］=0.

∴1是原方程的一個根.

(2)再證必要性：設1是方程ax²+bx+c=0的一個根，則a·1²+b·1+c=0,即a+b+c=0.

綜上所述，方程ax²+bx+x=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.