Question

已知函數(shù)，a∈R，．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）+lnx]•x²，k是g（x）圖象上不同的兩點(diǎn)的連線的斜率，是否存在實(shí)數(shù)a，使得k＜1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：f（x）的定義域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1839.png' />，
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，在，，
所以f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故．
（2）存在符合條件．
解法一：據(jù)題意在y=g（x）=[f（x）+lnx]•x²=ax³-x圖象上總可以找到一點(diǎn)P₀（x₀，y₀）使以p為切點(diǎn)的切線平行圖象上的任意兩點(diǎn)的連線，
即存在恒成立，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/126633.png' />，所以，所以=
故存在符合條件．                            
解法二：g（x）=[f（x）+lnx]•x²=ax³-x，不妨設(shè)任意不同兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）其中x₁＜x₂，則=
由于k＜1恒成立，則k＜恒成立，知恒成立…（12分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/126640.png' />，所以，故，分）
故存在符合條件．

（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，確定f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而可求f（x）的最大值；
（2）存在符合條件．
解法一：據(jù)題意存在，分離參數(shù)，可得結(jié)論；
解法二：據(jù)題意存在=，分離參數(shù)，可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，屬于中檔題．