Question

設(shè)a∈R，f（x）=是奇函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）如果g（n）=（n∈N₊），試比較f（n）與g（n）的大�。╪∈N₊）．

Answer 1

解：∵（1）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，2a-2=0，解得a=1．
經(jīng)驗(yàn)證a=1，f（x）是奇函數(shù)，∴a=1．
（2）由（1）可知：f（x）=，∴f（n）=．
∴f（n）-g（n）=．
只要比較2ⁿ與2n+1的大小即可．
當(dāng)n=1，2時(shí)，f（n）＜g（n）；當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ＞2n+1，f（n）＞g（n）．
下面證明，n≥3時(shí)，2ⁿ＞2n+1，即f（x）＞g（x）．
①n=3時(shí)，2³＞2×3+1，顯然成立，
②假設(shè)n=k（k≥3，k∈N₊）時(shí)，2^k＞2k+1，
那么n=k+1時(shí)，2^k+1=2×2^k＞2（2k+1）．
2（2k+1）-[2（k+1）+1]=4k+2-2k-3=2k-1＞0（∵k≥3），
有2^k+1＞2（k+1）+1．
∴n=k+1時(shí)，不等式也成立，由①②可以斷定，n≥3，n∈N₊時(shí)，2ⁿ＞2n+1．
結(jié)論：n=1，2時(shí)，f（n）＜g（n）；當(dāng)n≥3，n∈N₊時(shí)，f（n）＞g（n）．
分析：（1）利用奇函數(shù)的定義即可得出；
（2）利用作差法和數(shù)學(xué)歸納法即可得出．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握奇函數(shù)的定義、作差法和數(shù)學(xué)歸納法是解題的關(guān)鍵．