Question

4．給出定義：若m-$\frac{1}{2}＜$x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個命題．
①函數(shù)y=f（x）的定義域是R，值域是[0，$\frac{1}{2}$]
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{k}{2}$（k∈Z）對稱；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{k}{2}$，0）（k∈Z）對稱；
④函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期是1；
⑤函數(shù)y=f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)；
其中真命題是（填上所有真命題的序號）①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先對函數(shù)化簡，然后作出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象可判斷各個選項是否正確

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|x-{x}|的圖象如下圖所示：

由圖可知：
①函數(shù)y=f（x）的定義域是R，值域是[0，$\frac{1}{2}$]，故正確；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{k}{2}$（k∈Z）對稱，故正確；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{4}$，0）（k∈Z）對稱，故錯誤；
④函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期是1，故正確；
⑤函數(shù)y=f（x）在[-$\frac{1}{2}$，0]上是減函數(shù)，在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)，故錯誤；
故答案為：①②④

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的定義域、值域、對稱性和周期性的求法．