Question

15．設(shè)F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在雙曲線的兩條漸近線上，AF⊥x軸，BF⊥x軸，BF∥OA，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)k_OB=-$\frac{a}$，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得k_AB=$\frac{a}$，再求出A，B的坐標(biāo)，可得k_AB=$\frac{3b}{a}$，即可求出雙曲線的離．

解答 解：由題意，設(shè)k_OB=-$\frac{a}$，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，∴k_AB=$\frac{a}$，
直線FB的方程為y=$\frac{a}$（x-c），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{a}x}\\{y=\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$），
∵A（c，$\frac{bc}{a}$），
∴k_AB=$\frac{3b}{a}$=$\frac{a}$，
∴b²=$\frac{1}{3}$a²，
∴c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，是基礎(chǔ)題．