Question

下列命題中，真命題是（　�。�

A．?x∈R，sin2 x 2 +cos2 x 2 = 1 2

B．?x∈（0，π），sinx＞cosx

C．?x∈R，x2+x=-1

D．?x∈（0，+∞），ex＞1+x

Answer 1

對(duì)于A，由同角三角函數(shù)和平方關(guān)系，我們知道?x∈R，sin2

x

2

+cos2

x

2

=1，所以A為假命題；
    對(duì)于B，取特殊值：當(dāng)時(shí)x=

π

4

時(shí)，sinx=cosx=

2

2

，所以B為假命題；
    對(duì)于C，一元二次方程根的判別式△=1-4=-3＜0，所以原方程沒有實(shí)數(shù)根，所以C為假命題；
    對(duì)于D，構(gòu)造函數(shù)y=e^x-x，x∈（0，+∞）
   求出導(dǎo)數(shù)：y^/=e^x-1，可得當(dāng)時(shí)y^/＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
     當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)y^/＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
     所以當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)的最小值為e-1，即?x∈（0，+∞），e^x-x≥e-1＞1，
     移項(xiàng)，得e^x＞1+x，因此“?x∈（0，+∞），e^x＞1+x”是真命題
     故選D