Question

【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）．
（Ⅰ） 若函數(shù)g（x）=|f（x）|﹣a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 求|f（x+1）|≤4的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）， 則
從而可得函數(shù)y=f（x）與y=|f（x）|的圖象分別如下圖所示．

因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=|f（x）|﹣a有4個(gè)零點(diǎn)，
則題設(shè)可等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|f（x）|與函數(shù)y=a的圖象有4個(gè)交點(diǎn)．
由右上圖可知，a=4或0＜a≤3，
即：當(dāng)a=4或0＜a≤3時(shí)，函數(shù)g（x）=|f（x）|﹣a有4個(gè)零點(diǎn)．
（Ⅱ）令f（x）=4得， 或﹣1，
因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)f（x）=﹣4時(shí)，解得 或1
結(jié)合左上圖可知， ，
即： ．
所以所求解集為
【解析】（Ⅰ）利用f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，求出函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)y=f（x）與y=|f（x）|的圖象，利用函數(shù)g（x）=|f（x）|﹣a有4個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|f（x）|與函數(shù)y=a的圖象有4個(gè)交點(diǎn)．推出實(shí)數(shù)a的取值范圍即可．（Ⅱ）令f（x）=4得， 或﹣1，利用函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，結(jié)合圖象，求解即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號(hào)．