Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為：，當(dāng)時，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點”．當(dāng)時，試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點”？若存在，求出轉(zhuǎn)點的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)取到極大值為，當(dāng)時，函數(shù)取到極小值為-2.

（2）函數(shù)存在“轉(zhuǎn)點”，且2是“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo).

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間,令導(dǎo)數(shù)小于0得減區(qū)間,根據(jù)單調(diào)性求最值. （2）求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得點處切線的斜率,根據(jù)點斜式得切線方程,從而可得的解析式,因為是函數(shù)圖像和切線的交點,則.將函數(shù)求導(dǎo),用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性,討論的取值范圍判斷是否恒成立.

試題解析：解：（1）當(dāng)時，

當(dāng)，當(dāng)，

所以函數(shù)在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，函數(shù)取到極大值為，

當(dāng)時，函數(shù)取到極小值為-2. 6分

（2）當(dāng)時，函數(shù)在其圖像上一點處的切線方程為

8分

設(shè)

且

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，；

所以在不存在“轉(zhuǎn)點” 11分

當(dāng)時，，即在上是增函數(shù).

當(dāng)時，當(dāng)時，即點為“轉(zhuǎn)點”.

故函數(shù)存在“轉(zhuǎn)點”，且2是“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo). 12分