Question

小河同側(cè)有兩個(gè)村A、B，兩村計(jì)劃在河上共建一水電站發(fā)電供兩村使用，已知A、B兩村到河邊垂直距離分別為300 m和700 m，且兩村相距500 m，問(wèn)水電站建于何處，送電到兩村電線用料最省？

Answer 1

解析：小河看成一條直線l，A、B兩村在小河同側(cè)，且|AO|=300 m，|BB′|=700 m，|AB|=500 m.根據(jù)題意，應(yīng)在l上選一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最小，根據(jù)平面幾何知識(shí)，在A、B的另一岸取點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′,連結(jié)A′B，則A′B與小河交點(diǎn)P即為所求(通過(guò)兩邊之和大于第三邊可證).因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，在已知條件下計(jì)算|PA|+|PB|的最小值問(wèn)題.以小河l所在直線為x軸，y軸通過(guò)A點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如下圖所示作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B，A′B與x軸交于P點(diǎn)，則P點(diǎn)即為所求，即|PA|+|PB|為最小(若在l上任取一點(diǎn)P′PA，則|P′B|+|A′B|.

∵|A′P|=|AP|,∴|P′A|+|P′B|＞|AP|+|PB|.

∴根據(jù)已知條件，A(0，300)，A′(0，-300).

過(guò)B作BB′⊥x軸于點(diǎn)B′，

過(guò)A作AH⊥BB′于H.

∵|AO|=300，|BB′|=700，∴|BH|=400.

又|AB|=500，

∴|AH|=300求得B點(diǎn)坐標(biāo)B(300，700)，

∴直線A′B的方程為,即y= x-300.

∴P點(diǎn)坐標(biāo)即為直線A′B與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)(90，0).即|OP|=90 m.

即水電站應(yīng)建立在河邊距A到小河最近點(diǎn)的90 m處用料最省.

物指數(shù)般的繁殖和生長(zhǎng).