Question

12．如圖，已知⊙O和⊙M相交于A，B兩點，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點C，點G為弧$\widehat{BD}$中點，連接AG分別交⊙O，BD于點E，F，連接CE．
（1）求證：CE∥DG；
（2）求證：$\frac{AG}{DG}$=$\frac{CE}{EF}$．

Answer 1

分析 （1）連接AB，由圓周角定理，及G為弧$\widehat{BD}$中點，求出∠BDG=∠BCE，從而證出直線平行；
（2）可得∠GAD=∠FCE，∠CEF=∠ABC=90°，進而得到△CEF∽△AGD，根據相似三角形對應邊成比例．

解答 證明：（1）已知AD為⊙M的直徑，連接AB，
如圖示：

∵點G為弧$\widehat{BD}$中點，
∴∠BAG=∠BDG，而∠BCE=∠BAG，
∴∠BDG=∠BCE，
∴CE∥DG；
（2）由（1）得：
∠BCE=∠BAE，∠CEF=∠ABC=90°，
由點G為弧BD的中點可知∠GAD=∠BAE=∠FCE，
故△CEF∽△AGD，
所以有：$\frac{AG}{DG}$=$\frac{CE}{EF}$．

點評 本小題主要考查平面幾何中三角形相似的判定與性質，以及圓中角的性質等知識．