Question

已知△ABC中，A（1，1），B（m，

m

），C（4，2），1＜m＜4．求m為何值時(shí)，△ABC的面積S最大．

Answer 1

分析：由兩點(diǎn)間的距離公式求出AC的距離，由兩點(diǎn)式寫出直線AC的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)B到直線AC的距離，代入三角形面積公式后利用配方法求使三角形ABC面積取最大值時(shí)的m的值．

解答：解：∵A（1，1），C（4，2），∴|AC|=

(4-1)2+(2-1)2

=

10

．
由兩點(diǎn)式得直線AC的方程為

y-1

2-1

=

x-1

3-1

，即x-3y+2=0．
又B（m，

m

），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)B到直線AC的距離為：
d=

|m-3 m +2|

10

．
∴S△ABC=

1

2

|AC|d=

1

2

|m-3

m

+2|=

1

2

|(

m

-

3

2

)2-

1

4

|．
又∵1＜m＜4，∴1＜

m

＜2，
∴當(dāng)

m

=

3

2

，即m=

9

4

時(shí)，S最大．
故當(dāng)m=

9

4

時(shí)，△ABC面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了直線方程的兩點(diǎn)式，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)最值，是基礎(chǔ)題．