Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，E是DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求的值．

Answer 1

（1）證明：連接BD
∵底面ABCD是正方形
∴AC⊥BD
又∵在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∴B₁B⊥面ABCD
∴B₁B⊥AC又因?yàn)锽D∩B₁B=B
所以AC⊥面B₁BD
又∵B₁D?面B₁BD
∴AC⊥B₁D
（2）連接DC₁，DC₁是B₁D在平面CC₁D₁D上的射影
∵B₁D⊥平面ACE且CE?平面ACE
∴B₁D⊥CE
∵DC₁是B₁D在平面CC₁D₁D上的射影
∴CE⊥DC
在平面CC₁D₁D中如圖所示∠C₁DC=∠CED，

∴△C₁DC∽△CED
∴即
∴2CD²=CC₁²
∴即
故的值為．．
分析：（1）AC⊥BD且B₁B⊥AC又因?yàn)锽D∩B₁B=B所以AC⊥面B₁BD，因?yàn)锽₁D?面B₁BD，所以AC⊥B₁D．
（2）因?yàn)锽₁D⊥CE且DC₁是B₁D在平面CC₁D₁D上的射影，所以CE⊥DC，可得∠C₁DC=∠CED∴△C₁DC∽△CED，根據(jù)相似得到．
點(diǎn)評(píng)：證明線(xiàn)線(xiàn)垂直一般先證明線(xiàn)面垂直（把其中一條線(xiàn)作為垂線(xiàn)，另一條在平面內(nèi)即可證得線(xiàn)線(xiàn)垂直）；解決比例關(guān)系得關(guān)鍵是由題中的垂直關(guān)系找到相似關(guān)系，進(jìn)而得到相似比，則得到題中要求的結(jié)果．