Question

12．在邊長為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點P，則使點P到三個頂點的距離都不小于1的概率是$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$．

Answer 1

分析 先求出滿足條件的正三角形ABC的面積，再求出滿足條件正三角形ABC內(nèi)的點到三角形的頂點A、B、C的距離均不小于1的圖形的面積，然后代入幾何概型公式即可得到答案．

解答 解：滿足條件的正三角形ABC如下圖所示：
其中正三角形ABC的面積S_三角形=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$．
滿足到正三角形ABC的頂點A、B、C的距離至少有一個小于1的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其加起來是一個半徑為1的半圓，
則S_陰影=$\frac{1}{2}$π，
則使取到的點到三個頂點A、B、C的距離都大于1的概率是：
P=$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$．
故答案為：$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$．

點評 本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式．幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．