Question

8．已知雙曲線x²-y²=4的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其左支上，且滿足|P_n+1F₁|=|P_nF₂|，P₁F₁⊥F₁F₂，則x₂₀₁₅=-4030$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可求得P₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁（就是左焦點(diǎn)F₁的橫坐標(biāo)），利用兩點(diǎn)間的距離公式由|P_n+1F₁|=|P_nF₂|可求得x_n+1-x_n=-2$\sqrt{2}$，從而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得x₂₀₁₅的值．

解答 解：∵a²=4，b²=4，
∴c=2$\sqrt{2}$，即x₁=-2$\sqrt{2}$，
又|P_n+1F₁|=|P_nF₂|，
∴（x_n+1+2$\sqrt{2}$）²+y_n+1²=（x_n-2$\sqrt{2}$）²+y_n²，
∴（x_n+1+x_n）（x_n+1-x_n+4$\sqrt{2}$）=0，
由題意知，x_n＜0，
∴x_n+1-x_n=-2$\sqrt{2}$，
∴{x_n}是以-2$\sqrt{2}$為首項(xiàng)，-2$\sqrt{2}$為公差的等差數(shù)列，
∴x₂₀₁₅=x₁+2014×（-2$\sqrt{2}$）=-4030$\sqrt{2}$．
故答案為：-4030$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，突出考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)分析運(yùn)算得到x_n+1-x_n=-2$\sqrt{2}$是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查化歸思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．