Question

1．矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=2，點E、F分別為線段BC、CD邊上的動點，且滿足EF=1，則$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$的最小值是（　�。�

• A． 12
• B． 16
• C． 20
• D． 24

Answer 1

分析 如圖所示，設E（2$\sqrt{3}$，a），F（b，2），由EF=1，利用兩點之間的距離公式可得（a-2）²+（b-2$\sqrt{3}$）²=1，利用數量積運算可得$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$=2$\sqrt{3}$b+2a，令a+$\sqrt{3}$b=t與圓的方程聯立可得4b²-2$\sqrt{3}$tb+t²-4t+15=0．當直線a+$\sqrt{3}$b=t與圓有公共點時，△≥0，解出即可得出．

解答 解：如圖所示，
設E（2$\sqrt{3}$，a），F（b，2）．
∵EF=1，
∴（a-2）²+（b-2$\sqrt{3}$）²=1．
∵$\overrightarrow{AE}$=（2$\sqrt{3}$，a），$\overrightarrow{AF}$=（b，2）
∴$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$=2$\sqrt{3}$b+2a，
令2a+2$\sqrt{3}$b=t，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{a+\sqrt{3}b=t}\\{（a-2）^{2}+（b-2\sqrt{3}）^{2}=1}\end{array}\right.$，
化為4b²-2$\sqrt{3}$tb+t²-4t+15=0．
當直線a+$\sqrt{3}$b=t與圓有公共點時，△=12t²-16（t²-4t+15）≥0，
解得t²-10t+60≤0，
解得6≤t≤10．
∴12≤$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$≤20，
∴$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$的最小值為12．
故選：A．

點評 本題考查了兩點之間的距離公式、向量的數量積運算、直線與圓的位置關系，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．