Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

6

)，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈(

π

4

，

3π

4

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由正弦函數(shù)的周期公式T=

2π

ω

（ω＞0）可求函數(shù)f（x）的最小正周期，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

即可求得其單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（

π

4

，

3π

4

]時，可求得2x+

π

6

∈（

2π

3

，

5π

3

]，繼而可求得f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴其最小正周期T=

2π

2

=π；
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），
（2）∵x∈（

π

4

，

3π

4

]，
∴2x+

π

6

∈（

2π

3

，

5π

3

]，
∴-1≤sin（2x+

π

6

）＜

3

2

．
∴-2≤2sin（2x+

π

6

）＜

3

．
∴x∈（

π

4

，

3π

4

]時f（x）=2sin（2x+

π

6

）的值域為[-2，

3

）．

點評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，考查正弦函數(shù)的定義域和值域，考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．