Question

在△ABC中，已知acosB+bcosA=b，
（1）求證C=B；
（2）若∠ABC的平分線交AC于D，且sin

A

4

=

3

5

，求

BD

DC

的值．

Answer 1

（1）∵acosB+bcosA=b，由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB，
∴sin（A+B）=sinB，即sinC=sinB，∴b=c，∴C=B．
（2）△BCD中，用正弦定理可得

BD

DC

=

sinC

sin B 2

，由第一問(wèn)知道C=B，而BD是角平分線，
∴

BD

DC

=2cos

C

2

．
由于三角形內(nèi)角和為180°，設(shè) A=x，B=2α=C，那么4α+x=180°，故α+

A

4

=45°．
∵sin

A

4

=

3

5

，∴cos

A

4

=

4

5

，∴cosα=cos（45°-

A

4

）=cos45°cos

A

4

+sin45°sin

A

4

=

7 2

10

．
∴

BD

DC

=2cos

C

2

=2cosα=

7 2

5

．