Question

【題目】已知點(diǎn)在平行于軸的直線上，且與軸的交點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)滿足平行于軸，且.

（1）求出點(diǎn)的軌跡方程.

（2）設(shè)點(diǎn)，，求的最小值，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）過(guò)點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于.兩點(diǎn)，求證.兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘積為定值.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的軌跡方程為；（2）最小值為7，點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由此求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用則列方程，化簡(jiǎn)后求得點(diǎn)的軌跡方程.

（2）由于是拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可知、、三點(diǎn)共線時(shí)的值最小，由點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，求得最小值以及點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）設(shè)出過(guò)點(diǎn)的直線方程，與聯(lián)立，利用韋達(dá)定理證得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘積為定值.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則由已知有，

故，，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

即：.

（2）由題意，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，故即為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，

所以、、三點(diǎn)共線時(shí)的值最小，

即為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離， 所以最小值為7，

此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入，，

所以所求最小值為7，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）由題意可設(shè)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線為與聯(lián)立得：

，

所以，

所以 ，

所以.兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘積為定值.