Question

已知橢圓+（a＞b＞0）的離心率e=，橢圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為（0，-1）．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點(diǎn)D（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使DA⊥DB？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由離心率e=，橢圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為（0，-1），解得a²=3，由此能求出橢圓方程．
（2）可假設(shè)存在這樣的K的值，使DA⊥DB，由，得（1+3k²）x²+12kx+9=0．利用垂直成立的條件建立方程求出參數(shù)K．
解答：解：（1）依題意，解得a²=3，
∴橢圓方程為．（4分）
（2）假若存在這樣的k值，由，
得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0，①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，②（6分）
而+2k（x₁+x₂）+4．        
當(dāng)DA⊥DB時(shí)，則，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k²+1）x₁x₂+2（k+1）（x₁+x₂）+5=0，③（10分）
將②式代入③整理解得k=．經(jīng)驗(yàn)證，，使①成立．
∴存在k=，使DA⊥DB．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，探索是否存在直線的斜率，使得兩直線垂直．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．注意直線和橢圓位置關(guān)系的靈活運(yùn)用．