Question

如圖1-1-7所示，一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，在一直角EOF內(nèi)滾動(dòng)，并始終與∠EOF的兩邊OE、OF分別相切.求橢圓中心O′的軌跡.

圖1-1-7

Answer 1

思路分析：由于橢圓相對(duì)于直角是運(yùn)動(dòng)的，不便找出中心O′相對(duì)于直角的變化規(guī)律.若反過來變更問題的形式，由于直角與橢圓的動(dòng)與靜是相對(duì)的，把橢圓看作是固定的，而與之相切的直角自然就是繞著橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)了.問題就轉(zhuǎn)化為如圖所示的“求橢圓=1的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡”.

解：如圖所示，在坐標(biāo)系xO′y中設(shè)兩條互相垂直的切線OE、OF的交點(diǎn)O的坐標(biāo)為(u,v)，當(dāng)兩條切線的斜率都存在時(shí)，設(shè)橢圓=1的切線的斜率為k，則過點(diǎn)O(u,v)的切線方程為y=k(x-u)+v，將其代入橢圓方程并整理可以得到

(b²+k²a²)x²-2a²(ku-v)x+a²［(ku-v)²-b²］=0.

于是有Δ=［-2a²（ku-v）］²-4(b²+k²a²)·a²［(ku-v)²-b²］=0.

化簡(jiǎn)得關(guān)于k的一元二次方程(u²-a²)k²-2uvk+(v²-b²)=0.

這個(gè)關(guān)于k的一元二次方程的兩個(gè)根就是切線OE、OF的斜率.因?yàn)镺E⊥OF，所以兩根之積為-1，即=-1.從而有u²+v²=a²+b².

當(dāng)兩條切線的斜率不都存在時(shí)，顯然也有u²+v²=a²+b²成立.

這說明橢圓=1的兩條互相垂直的切線OE、OF的交點(diǎn)O與橢圓的中心點(diǎn)O′之距恒為定值.再將問題轉(zhuǎn)回到原問題上來，如圖所示建立坐標(biāo)系xOy，則O′的軌跡方程為x²+y²=a²+b²(b≤x≤a且b≤y≤a).