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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
數列{an}滿足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）若數列{an}為常數列，求a1的值；
（Ⅱ）若a1=
1
2
，求證：
2
3
＜a2n≤
3
4
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：數列{a2n}單調遞減．
分析：（Ⅰ）由題意知an+1=an，an=
an+3
2
，由此可推導出a=0，或a=
2
3
．
（Ⅱ）用數學歸納法證明
2
3
＜a2n≤
3
4
．
（Ⅲ）因為a2n-a2n-2=3（3a2n-2-3a2n-22）-3（3a2n-2-3a2n-22）2-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2（n≥2），
所以只要證明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2＜0，然后用分析法能夠證明數列{a2n}單調遞減．
解答：解：（Ⅰ）因為數列{an}為常數列，
所以an+1=an，an=
an+3
2
，
解得an=0或an=
2
3
，
由n的任意性知，a1=0或a1=
2
3
，
所以a=0，或a=
2
3
；
（Ⅱ）用數學歸納法證明
2
3
＜a2n≤
3
4
，
1當n=12時，a2=
3
4
3，符合上式，
②假設當n=k（k≥1）時，
2
3
＜a2k≤
3
4
，
因為
2
3
＜a2k≤
3
4
，
所以
9
16
≤3a2k-3
a
2
2k
＜
2
3
，
即
9
16
≤a2k+1＜
2
3
，
從而
2
3
＜3a2k+1-3
a
2
2k+1
≤
189
256
，
即
2
3
＜a2k+2≤
189
256
，
因為
189
256
＜
3
4
，
所以，當n=k+1時，
2
3
＜a2k+2≤
3
4
成立，
由①，②知，
2
3
＜a2k≤
3
4
；
（Ⅲ）因為a2n-a2n-2=3（3a2n-2-3a2n-22）-3（3a2n-2-3a2n-22）2-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2（n≥2），
所以只要證明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2＜0，
由（Ⅱ）可知，a2n-2＞0，所以只要證明-27a2n-23+54a2n-22-36a2n-2+8＜0，
即只要證明27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8＞0，
令f（x）=27x3-54x2+36x-8，
f'（x）=27×3x2-54×2x+36=9（9x2-12x+4）=9（3x-2）2≥0，
所以函數f（x）在R上單調遞增，
因為
2
3
＜a2n-2≤
3
4
，所以f(a2n-2)＞f(
2
3
)=0，
即27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8＞0成立，
故a2n＜a2n-2，
所以數列{a2n}單調遞減．
點評：本題以數列為載體，考查不等式的證明，解題時要注意數列歸納法和分析法的證明技巧．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c為實數，且c≠0．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}滿足a1=a，an+1=
an+3
2
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
（Ⅱ）當a=
1
2
時，證明：an＜
3
2
；
（Ⅲ）設數列{an-1}的前n項之積為Tn．若對任意正整數n，總有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•天津模擬）設數列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c為實數，且c≠0．
（1）求證：a≠1時數列{an-1}是等比數列，并求an；
（2）設a=
1
2
c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數列{bn}的前n項和Sn；
（3）設a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
(n∈N*)，記dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，設數列{dn}的前n項和為Tn，求證：對任意正整數n都有Tn＜
5
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•大連二模）已知a為實數，數列{an}滿足a1=a，當n≥2時，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）當a=200時，填寫下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）當a=200時，求數列{an}的前200項的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求證：當1＜a＜
5
3
時，T n＜
5-3a
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知常數a、b都是正整數，函數f(x)=
x
bx+1
（x＞0），數列{an}滿足a1=a，
1
an+1
=f(
1
an
)（n∈N*）
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若a=8b，且等比數列{bn}同時滿足：①b1=a1，b2=a5；②數列{bn}的每一項都是數列{an}中的某一項．試判斷數列{bn}是有窮數列或是無窮數列，并簡要說明理由；
（3）對問題（2）繼續(xù)探究，若b2=am（m＞1，m是常數），當m取何正整數時，數列{bn}是有窮數列；當m取何正整數時，數列{bn}是無窮數列，并說明理由．

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