Question

設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件

3x-y-2≤0 2x-y≥0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則

a+b

ab

的最小值為

6+4

2

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△AB0及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=ax+by對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=2且y=4時(shí)，z_最大值=2a+4b=1．由此再利用基本不等式求最值，可得

a+b

ab

的最小值．

解答：解：作出不等式組

3x-y-2≤0 2x-y≥0 x≥0，y≥0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABO及其內(nèi)部，其中A（2，4），B（

2

3

，0），0為坐標(biāo)原點(diǎn)
設(shè)z=F（x，y）=ax+by，將直線(xiàn)l：z=ax+by進(jìn)行平移，
由a＞0且b＞0得直線(xiàn)l的斜率為負(fù)數(shù)，觀(guān)察y軸上的截距變化，可得當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值
∴z_最大值=F（2，4）=2a+4b=1
因此，

a+b

ab

=（2a+4b）（

1

a

+

1

b

）=6+

4b

a

+

2a

b

∵a＞0且b＞0，

4b

a

+

2a

b

≥2

4b a • 2a b

=4

2

，∴

a+b

ab

≥6+4

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

4b

a

=

2a

b

時(shí)，即a=

2- 2

4

、b=

2 -1

4

時(shí)等號(hào)成立
∴

a+b

ab

的最小值為6+4

2

．
故答案為：6+4

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求在已知目標(biāo)函數(shù)的最大值為1的情況下求

a+b

ab

的最小值，著重考查了基本不等式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．