Question

函數(shù)f（x）=（3sinx-4cosx）•|cosx|的最大值為（　　）

• A．5
• B．

  9

  2

• C．

  1

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：根據(jù)x范圍，分cosx大于0與小于0兩種情況考慮，將絕對值化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的值域確定出各種的最大值，比較即可確定出函數(shù)f（x）的最大值．

解答：解：分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)x∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，其中k∈Z時，cosx＞0，
f（x）=（3sinx-4cosx）cosx=3sinxcosx-4cos²x=

3

2

sin2x-2（1+cos2x）
=

1

2

（3sin2x-4cos2x）-2=

5

2

（

3

5

sin2x-

4

5

cos2x）-2=

5

2

sin（2x+θ）-2，最大值為

5

2

-2=

1

2

；
（ii）當(dāng)x∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，其中k∈Z，cosx＜0，
f（x）=-（3sinx-4cosx）cosx=（-3sinx+4cosx）cosx=-3sinxcosx+4cos²x=-

3

2

sin2x+2（1+cos2x）
=

1

2

（4cos2x-3sin2x）+2=

5

2

（

4

5

cos2x-

3

5

sin2x）+2=

5

2

sin（α-2x）+2，最大值為

5

2

+2=

9

2

，
綜上，函數(shù)f（x）=（3sinx-4cosx）•|cosx|的最大值為

9

2

．
故選B

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．