Question

在直角坐標系中，設矩形OPQR的頂點按逆時針順序依次為O（0，0）、P（1，t）、Q（1﹣2t，2+t）、R（﹣2t，2），其中t∈（0，+∞）．
（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面積S（t）；
（2）確定函數S（t）的單調區(qū)間，并加以證明．

Answer 1

解：（1）當1﹣2t＞0即0＜t＜時，0＜t＜時，點Q在第一象限，如圖（1），
直線RQ的方程為y=t（x+2t）+2，它與y軸的交點T（0，2+2t²），
故△ORT的面積S=×2t×（2+2t²）=2t×（1+t²）
可得矩形在第一象限內的部分面積為S（t）=2+2t²﹣2t×（1+t²）=2[1﹣t×（1+t+t²）]
當﹣2t+1≤0，即t≥時，如圖（2），點Q在y軸上或第二象限，S（t）為△OPT的面積，
直線PQ的方程為y=﹣+t+，
令x=0得y=t+，故點T的坐標為（0，t+），
故S（t）=S_△OPT==
綜上知S（t）=
（2）S（t）在區(qū)間（0，）與（，1）上是減函數，在（1，+∞）是增函數，證明如下
下用導數法證明：由于S'（t）=
驗證知當在區(qū)間（0，）與（，1）上S'（t）＜0，在（1，+∞）上S'（t）＞0
故得S（t）在區(qū)間（0，）與（，1）上是減函數，在（1，+∞）是增函數