Question

（2012•北京模擬）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱A₁A垂直于底面ABC，A₁A=2，AC=CB=1，∠BCA=90°，M、N分別是AB、A₁A的中點(diǎn)．
（1）求BN的長(zhǎng)；
（2）求證：A₁B⊥CM．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理結(jié)合AC=CB=1，∠BCA=90°，可求出AB的長(zhǎng)，由A₁A=2，N是A₁A的中點(diǎn)，可求出AN的長(zhǎng)，解直角三角形NAB可得BN的長(zhǎng)；
（2）由等腰三角形“三線合一”可得CM⊥AB．由已知中A₁A⊥底面ABC，結(jié)合線面垂直的定義可得A₁A⊥CM，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理可得CM⊥平面ABB₁A₁，最后由線面垂直的定義可得A₁B⊥CM．

解答：解：（1）因?yàn)椤螧CA=90°，AC=CB=1，
所以AB=

2

．
因?yàn)锳₁A⊥底面ABC，且AB?底面ABC，
所以A₁A⊥AB．
又A₁A=2，N是A₁A的中點(diǎn)，
所以NA=1．
所以BN=

1+2

=

3

．
證明：（2）在△ABC中，因?yàn)锳C=CB，M是AB的中點(diǎn)，
所以CM⊥AB．
又A₁A⊥底面ABC，且CM?底面ABC，
所以A₁A⊥CM．
因?yàn)锳₁A∩AB=A，
所以CM⊥平面ABB₁A₁．
又A₁B?平面ABB₁A₁，
所以A₁B⊥CM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)定理，直線與平面垂直的判定定理，空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題，難度中檔