Question

2．已知向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$滿足$\overrightarrow{|{OA}|}=\overrightarrow{|{OB}|}=1，\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}（{λ，μ∈R}）$，若M為AB的中點，并且$|{\overrightarrow{MC}}|=1$，則λ+μ的最大值是（　�。�

• A． $1-\sqrt{3}$
• B． $1+\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $1+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$滿足$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$=1，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，不妨取A（1，0），B（0，1）．利用中點坐標公式可得M$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．由$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$=（λ，μ）．及其$|{\overrightarrow{MC}}|=1$，可得$（λ-\frac{1}{2}）^{2}+（μ-\frac{1}{2}）^{2}$=1，換元$λ=\frac{1}{2}+cosθ$，μ=$\frac{1}{2}$+sinθ，θ∈[0，2π）．即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$滿足$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$=1，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
不妨取A（1，0），B（0，1）．
∵M為AB的中點，
∴M$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．
∵$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$=λ（1，0）+μ（0，1）=（λ，μ）．
∵$|{\overrightarrow{MC}}|=1$，
∴$（λ-\frac{1}{2}）^{2}+（μ-\frac{1}{2}）^{2}$=1，
設$λ=\frac{1}{2}+cosθ$，μ=$\frac{1}{2}$+sinθ，θ∈[0，2π）．
則λ+μ=1+sinθ+cosθ=1+$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$$≤1+\sqrt{2}$，當$sin（θ+\frac{π}{4}）$=1時取等號．
∴λ+μ的最大值是1+$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了向量的運算及其模的計算公式、圓的標準方程、三角函數(shù)換元方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．