Question

在數(shù)1 和100之間插入n個實(shí)數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積計作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=tana_n•tana_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)在數(shù)1 和100之間插入n個實(shí)數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，我們易得這n+2項(xiàng)的幾何平均數(shù)為10，故T_n=10ⁿ⁺²，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)我們易計算出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論，利用兩角差的正切公式，我們易將數(shù)列{b_n}的每一項(xiàng)拆成

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1的形式，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答：解：（I）∵在數(shù)1 和100之間插入n個實(shí)數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，
又∵這n+2個數(shù)的乘積計作T_n，
∴T_n=10ⁿ⁺²
又∵a_n=lgT_n，
∴a_n=lg10ⁿ⁺²=n+2，n≥1．
（II）∵b_n=tana_n•tana_n+1=tan（n+2）•tan（n+3）=

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=[

tan(4)-tan(3)

tan1

-1]+[

tan(5)-tan(4)

tan1

-1]+…+[

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1]
=

tan(n+3)-tan(3)

tan1

-n

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，其中根據(jù)已知求出這n+2項(xiàng)的幾何平均數(shù)為10，是解答本題的關(guān)鍵．