Question

在矩形ABCD中，AB=1，AD=

3

，P為矩形內一點，且AP=

3

2

，若

AP

=λ

AB

+μ

AD

（λ，μ∈R），則λ+

3

μ的最大值為（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  3+ 3

  4

• C．

  6

  2

• D．

  6 +3 2

  4

Answer 1

分析：由題意正確得出點P（x，y）所滿足的約束條件，利用

AP

=λ

AB

+μ

AD

=（x，y）=λ（1，0）+μ（0，

3

）進行坐標變換得出x，y滿足的約束條件，利用基本不等式的方法找出x+y的最大截距即可．

解答：解：如圖所示，在圖中，設P（x，y）．
B（1，0），D（0，

3

），C（1，

3

）．
由AP=

3

2

，得x²+y²=

3

4

，
則點P滿足的約束條件為

0≤x≤1 0≤y≤ 3 x2+y2= 3 4

．
∵

AP

=λ

AB

+μ

AD

即（x，y）=λ（1，0）+μ（0，

3

）
∴x=λ，y=

3

μ，∴λ+

3

μ=x+y．
由于x+y≤

2(x2+y2)

=

2× 3 4

=

6

2

，
當且僅當x=y時取等號．
則λ+

3

μ=x+y的最大值為

6

2

．
故選C．

點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，基本不等式的運用，屬于中檔題．