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已知向量
a
=(2cos2x，
3
)，
b
=(1，sin2x)，函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若f(a-
π
3
)=2，a∈[
π
2
，π]，求sin(2a+
π
6
)的值．
分析：（1）把向量的坐標代入數(shù)量積公式，降冪后化積，則函數(shù)f（x）的最小正周期可求；
（2）由f(a-
π
3
)=2，a∈[
π
2
，π]求解a的值，代入sin(2a+
π
6
)得答案．
解答：解：（1）由向量
a
=(2cos2x，
3
)，
b
=(1，sin2x)，得
f（x）=
a
•
b
=2cos2x+
3
sin2x
=cos2x+
3
sin2x+1=2sin(2x+
π
6
)+1．
∴f（x）的最小正周期為T=π；
（2）由f(a-
π
3
)=2，得
f(a-
π
3
)=2sin[2(a-
π
3
)+
π
6
]+1=2sin(2a-
π
2
)+1=2，
∴-cos2a=
1
2
，cos2a=-
1
2
，
∵a∈[
π
2
，π]，∴2a∈[π，2π]，∴2a=
4π
3
，a=
2π
3
，
∴sin(2a+
π
6
)=sin
3π
2
=-1．
點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了三角函數(shù)的倍角公式，訓練了三角函數(shù)的值的求法，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量a=（tanx，1），b=（sinx，cosx），f（x）=a•b．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式及最大值；
（II）若f(x)=
5
4
，求2cos2(
π
4
+x)-1的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(1-2cos2
ωx
2
，  1)，
b
=（-1，cos（ωx+
π
3
）），ω＞0，點A、B為函數(shù)f(x)=
a
•
b
的相鄰兩個零點，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=
3
3
，x∈(0，
π
2
)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(x)-
3
2
x在區(qū)間[0，2π]上的單調遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(1-2cos2
ωx
2
，  1)，
b
=（-1，cos（ωx+
π
3
）），ω＞0，點A、B為函數(shù)f(x)=
a
•
b
的相鄰兩個零點，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=
3
3
，x∈(0，
π
2
)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(2x)-
3
x在區(qū)間[0，  
3π
2
]上的單調遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖南模擬）已知向量
a
=(sinx，2co
s
2
 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的
1
2
倍；再把所得到的圖象向左平移
π
6
個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
12
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源：湖南模擬 題型：解答題

已知向量
a
=(sinx，2co
s2 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的
1
2
倍；再把所得到的圖象向左平移
π
6
個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
12
]上的值域．

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