Question

【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，傾斜角為的直線經(jīng)過焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)、.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程；

（2）若為銳角，作線段的中垂線交軸于點(diǎn).證明：為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；

（2）為定值，證明見解析.

【解析】

（1）利用拋物線的定義結(jié)合條件，可得出，于是可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程求出的值，于此可得出拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得出直線的方程，并得出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出和的表達(dá)式，可得出，然后利用二倍角公式可計(jì)算出為定值，進(jìn)而證明題中結(jié)論成立.

（1）由拋物線的定義知，，.

將點(diǎn)代入，得，得.

拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，

由，消去得：，則，

，.

設(shè)直線中垂線的方程為：，

令，得：，則點(diǎn)，，.

，

故為定值.