Question

設函數(shù)f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

．
（Ⅰ）求f（x）的對稱中心及單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ） 記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=1，a=1，c=

3

，求b的值及△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將函數(shù)解析式第一項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的對稱中心為kπ（k∈Z）得到此函數(shù)的對稱中心，由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間即可得到f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由f（A）=1及第一問確定的函數(shù)解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進而確定出sinA與cosA的值，由cosA，a，c的值，利用余弦定理求出b的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin（x-

π

6

）+1，
令x-

π

6

=kπ，k∈Z，解得：x=kπ+

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的對稱中心為（kπ+

π

6

，1）k∈Z，
令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得：2kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

，k∈Z，
則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（A）=sin（A-

π

6

）+1=1，
∴sin（A-

π

6

）=0，
∴A-

π

6

=0，即A=

π

6

，
又a=1，c=

3

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：1=b²+3-3b，
解得：b=1或b=2，
當b=1時，S=

1

2

bcsinA=

3

4

；當b=2時，S=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質，正弦函數(shù)的單調性，余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．