Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=BC=AC，點(diǎn)E、F分別是PC、PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角A-EB-F的大�。�

Answer 1

方法（一）
（Ⅰ）證明：由已知可得△PBC為等腰直角三角形，則BE⊥PC．    
由PB⊥平面ABC，AC?平面ABC，則PB⊥AC．
又AC⊥BC，BC∩PB=B，
則AC⊥平面PBC，由PC?平面PBC，得AC⊥PC． 
由中位線定理得，EF∥CA，于是EF⊥PC，又BE∩EF=E，
所以PC⊥平面BEF．           
（Ⅱ）解：由第（Ⅰ）問，已證明AC⊥平面PBC，又BE?平面PBC，
則AC⊥BE．已證明BE⊥PC，又PC∩AC=C，則BE⊥平面PAC．
因?yàn)镋F?平面PAC，AE?平面PAC，所以BE⊥EF，BE⊥AE．
由二面角的定義，得∠AEF為二面角A-EB-F的平面角．
設(shè)PB=BC=AC=2，則，，
在Rt△PAB中，PB=2，，所以，
在Rt△ACE中，AC=2，，∴，
在△AEF中，由余弦定理得，．
則二面角A-EB-F的大小為．        
方法（二）
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PB=BC=AC=2，可求出以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：A（2，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），
P（0，0，2），E（1，0，1），F(xiàn)（1，1，1）
（Ⅰ），，
有，，
于是PC⊥BE，PC⊥EF，又BE∩EF=E，則PC⊥平面BEF．          
（Ⅱ），有，，
于是EA⊥BE，EF⊥BE，由二面角定義，向量與的夾角為所求．
∴，
所以二面角A-EB-F的大小為．   
分析：方法一：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理，證明BE⊥PC，EF⊥PC，即可得到PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）先判斷∠AEF為二面角A-EB-F的平面角，再在△AEF中，利用余弦定理，可求二面角A-EB-F的大��；
方法（二）：向量法，建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用坐標(biāo)表示向量
（Ⅰ）證明，從而可證PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）先判斷向量與的夾角為所求，再利用向量夾角公式，即可求得二面角A-EB-F的大�。�
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三棱錐，直線與平面的垂直，二面角的計(jì)算，考查空間想象能力、思維能力和運(yùn)算能力．兩法并舉，既展現(xiàn)傳統(tǒng)方法，又體現(xiàn)向量法的優(yōu)點(diǎn)．