Question

如圖,四棱錐S—ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上的一點,

(1)求證:平面EBD⊥平面SAC;

(2)若SA=2,AB=4,求點A到平面SBD的距離;

(3)當的值為多少時,二面角B-SC-D的大小為120°?并給出證明.

Answer 1

(1)證明:如圖所示,SA⊥面ABCD則SA⊥BD,又AC⊥BD,則BD⊥面SAC,而DB面EBD,由面面垂直的判定定理得證.

(2)解:易證面SAO⊥面SBD,過點A在面SAO內(nèi)作AG⊥SO,如圖所示AG即為所求,易求OS=,由等面積法得.

(3)解:當時,二面角B-SC-D的大小為120°.證明如下:

由條件知二面角BSCD的大小為120°,則過點B作BH⊥SC垂足為H,連結DH,易證∠BHD為二面角BSCD的平面角,且∠EBD為等腰三角形,則∠ABD=∠HDB=30°,OH⊥BD.

由條件易證BC⊥面SAB,則∠SBC=90°.

設AB=a,SA=b,可求得OB=a,.

∵cos30°=,化簡得,平方得3(a²+b²)=2(2a²+b²)=4a²+2b²,即a=b,∴當時,二面角B-SC-D的大小為120°.