Question

已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求a和b的值；
（2）當f（x）定義域不是R時，判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）內的單調性，并給出證明；
（3）當f（x）定義域為R時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

（1）解：由f（x）為奇函數(shù)得，f（x）+f（-x）=0，
即 +=0，化簡得（a+b）（2^2x+2^-x）+2（ab+1）=0
∴，解得：或 （4分）
（2）由已知得，f（x）=這時，f（x）在（0，+∞）內是減函數(shù)．
證明：設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=-=，
∵x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂
∴，，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
因此，f（x）在（0，+∞）內是減函數(shù)． （4分）
（3）解：由已知得：f（x）==1-，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜＜2，
∴-2＜-＜0，
∴-1＜f（x）＜1
因此，f（x）的值域為（-1，1）（12分）
分析：（1）由奇函數(shù)的性質可得f（x）+f（-x）=0，結合函數(shù)的解析式構造方程組，可求出a和b的值；
（2）當f（x）定義域不是R時，可得b＜0，結合（1）中結論可得函數(shù)的解析式，進而利用做差法，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，判斷f（x₁）與f（x₂）大小，可得結論；
（3）當f（x）定義域是R時，可得b≥0，結合（1）中結論可得函數(shù)的解析式，進而利用分類常數(shù)法，結合指數(shù)函數(shù)的性質可得函數(shù)f（x）的值域．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調性，函數(shù)的值域，其中根據(jù)奇函數(shù)的定義，構造方程求出a和b的值是解答本題的關鍵．