Question

3．對定義在[0，1]上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f（x）稱為M函數(shù)：
（i） 對任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；
（ii） 當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時(shí)，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
則下列四個(gè)函數(shù)中不是M函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）
①f（x）=x²②f（x）=x²+1
③f（x）=ln（x²+1）④f（x）=2^x-1．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用已知條件函數(shù)的新定義，對四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證兩個(gè)條件，判斷即可．

解答 解：（i）在[0，1]上，四個(gè)函數(shù)都滿足；（ii）x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1；
對于①，$f（{x_1}+{x_2}）-[f（{x_1}）+f（{x_2}）]={（{x_1}+{x_2}）^2}-（{x_1}^2+{x_2}^2）=2{x_1}{x_2}≥0$，∴①滿足；
對于②，$f（{x_1}+{x_2}）-[f（{x_1}）+f（{x_2}）]=[{（{x_1}+{x_2}）^2}+1]-[（{x_1}^2+1）+（{x_2}^2+1）]$=2x₁x₂-1＜0，∴②不滿足．
對于③，$f（{x_1}+{x_2}）-[f（{x_1}）+f（{x_2}）]=ln[{（{x_1}+{x_2}）^2}+1]-[ln（{x_1}^2+1）+ln（{x_2}^2+1）]$=$ln[{（{x_1}+{x_2}）^2}+1]-ln[（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）]=ln\frac{{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}+1}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}=ln\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2+2{x_1}{x_2}+1}}{{{x_1}^2{x_2}^2+{x_1}^2+{x_2}^2+1}}$而x₁≥0，x₂≥0，∴$1≥{x_1}+{x_2}≥2\sqrt{{x_1}{x_2}}$，∴${x_1}{x_2}≤\frac{1}{4}$，∴${x_1}^2{x_2}^2≤\frac{1}{4}{x_1}{x_2}≤2{x_1}{x_2}$，
∴$\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2+2{x_1}{x_2}+1}}{{{x_1}^2{x_2}^2+{x_1}^2+{x_2}^2+1}}≥1$，∴$ln\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2+2{x_1}{x_2}+1}}{{{x_1}^2{x_2}^2+{x_1}^2+{x_2}^2+1}}≥0$，∴③滿足；
對于④，$f（{x_1}+{x_2}）-[f（{x_1}）+f（{x_2}）]=（{2^{{x_1}+{x_2}}}-1）-（{2^{x_1}}-1+{2^{x_2}}-1）$
=${2^{x_1}}{2^{x_2}}-{2^{x_1}}-{2^{x_2}}+1=（{2^{x_1}}-1）（{2^{x_2}}-1）≥0$，∴④滿足；
故選：A．

點(diǎn)評 本題通過函數(shù)的運(yùn)算與不等式的比較，另外也可以利用函數(shù)在定義域內(nèi)的變化率、函數(shù)圖象的基本形式來獲得答案，本題對學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求．