Question

6．函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值大$\frac{a}{4}$，則實數(shù)a的值為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{4}或\frac{5}{4}$
• D． $\frac{3}{4}或\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 分當a＞1時和當0＜a＜1時兩種情況，結(jié)合已知和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，構造方程，解得答案．

解答 解：當a＞1時，函數(shù)f（x）=a^x為增函數(shù)，
又∵函數(shù)f（x）=a^x在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值大$\frac{a}{4}$，
∴a²-a=$\frac{a}{4}$，
解得：a=$\frac{5}{4}$，或a=0（舍去），
當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）=a^x為減函數(shù)，
又∵函數(shù)f（x）=a^x在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值大$\frac{a}{4}$，
∴a-a²=$\frac{a}{4}$，
解得：a=$\frac{3}{4}$，或a=0（舍去），
綜上所述，實數(shù)a的值為$\frac{3}{4}或\frac{5}{4}$，
故選：D．

點評 本題考查的知識是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．