Question

設(shè)P是橢圓=1在第一象限部分的弧AB上的一點(diǎn)，求使四邊形OAPB的面積最大的點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

思路分析：由于P是橢圓=1在第一象限部分的弧AB上的一動(dòng)點(diǎn)，因此四邊形OAPB的形狀不定，則不能用特殊四邊形的面積公式來(lái)求其最值，只能考慮把四邊形分解為幾個(gè)三角形，利用三角形的知識(shí)來(lái)求其面積的最大值.

解：∵點(diǎn)P是橢圓=1在第一象限部分的弧AB上的一點(diǎn),

∴設(shè)P(6cosθ,2sinθ),θ∈(0,)(圖略).

法一:直線AB方程為=1,即x+3y-6=0.欲使S_OAPB最大,只需P到AB的距離最大.

∵d_P-AB=θ∈(0,),

∴sin(θ+)＞0.∴當(dāng)θ=時(shí),d_max=.

∴(S_△APB)_max==6(-1).

∴(S_OAPB)_max=·6·2+6(-1)=.

法二:S_OAPB=S_△POA+S_△POB=·2·6cosθ+·6·2sinθ

=6(sinθ+cosθ)=sin(θ+),θ∈(0,),

∴當(dāng)θ=時(shí),(S_OAPB)_max=,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,2).

    拓展延伸 分析本題所求的最值可以有幾個(gè)轉(zhuǎn)化方向，即轉(zhuǎn)化為求S_△POA+S_△POB，S_OAPB的最大值或者求點(diǎn)P到AB的最大距離，或者求S_OAPB的最大值.